【知ってると得!】円の接線の作図 円に接する円の作図方法！
円の接線
高校受験などでよく出てきますね、
そこで円の接線の基本から作図、応用的な作図まで紹介します！
- 接線とは
- 接線の性質
- 円の外部の点を通る接線の作図
- 円の外部の点を通り円に外接する円の作図
- (応用編)二つの円の共通接線の作図
- (応用編)円の外部の二点を通り円に外接する円の作図
- さいごに
接線とは
接線とは円とただ一点を共有する直線のことです。また、接線と円の接する点を接点と言います。
イメージとしては、ボールに定規を当てた時の定規です。
接線の性質
接線には主に二つの性質があります。
- 接線は円の中心と接点を結んだ線と直交する
- ある一点の円に対する二つの接線は長さが等しい
1は、下の図の赤い部分が直角だよ、ということです。すなわち90度ですね。
2は、一つの点と円があるとき、実は接線が二本あって、その二本は長さが等しいよ、という意味です。図で説明すると、PAの長さとPBの長さが等しいということです。
それでは、作図をしてみます。
円の外部の点を通る接線の作図
接線の性質から二本書くことができますが、ここでは一本だけ書いてみます。
円Oと点Aを通る接戦を作図してみましょう
ヒントは接線との角度が90度になる性質です。
やり方は、
①AOを結び、垂直二等分線をかき二等分する
②二等分した点を中心としA.Oを通る円を書く
③書いた円と円Oの交点とAを結ぶ
です。
円周角の定理を使って90度を作ってやっています。
円の外部の点を通り円に外接する円の作図
円、円、言ってよくわかりませんが
こうしろってことです。やり方はいくつかありますが、いろんな問題に対応しやすいやり方を載せます。
ヒントは、出来上がる円と最初からある円の接する場所を考えます。
やり方は
①円O上に適当な点を取る(B)
②点Bと中心Oを通る直線を引く
③ABの垂直二等分線をかきBOとの交点(C)を中 心にABを通るように円を書く
円と円の共通接線を考えます。
(応用編)二つの円の共通接線の作図
共通接線とは
二つの円の両方に接する接線のことです
二つの円に共通接線は最高で4本あります(円の位置関係によって個数が変わります。)
今回はこの場合の共通接線を二種類書いてみます。
ヒントは、三角形の相似を使いますよ、
実はこの二本の書き方は二つとも似てますよ
ではまず、外側の共通接線の作図です
やり方は、
①二つの円の中心を延長する(直線AB)
②大きい円の円周上に適当な点を取る(C)
③とった点から小さい円と同じ大きさの円を書く
④書いた円と半径の交点と小さい円の中心を結ぶ(DB)
⑤結んだ線と平行な線をCから引く
⑥引いた線と①の直線の交点からあんな接線を書く
次に、内側の共通接線の作図です
やり方は
①二つの円の中心を延長する(直線AB)
②大きい円の円周上に適当な点を取る(C)
③とった点から小さい円と同じ大きさの円を書く
④大きい円と書いた円の中心の延長線上の書いた円との交点と小さい円の中心を結ぶ(BF)
⑤結んだ線と平行な線を書いた円の中心から引く
⑥引いた線と①との交点から接線を引く
この二つの作図の区別をしっかりしましょう！
赤が内側 緑が外側です
この図を見ればわかるように、ABを内分すれば、内側の共通接線に、
ABを外分すれば外側の共通接線になるということですね、
(応用編)円の外部のニ点をとおり円に概説する円
これをするんです
とっても難しいです
ヒントは、方べきの定理を使いますよ
では、早速やり方
①外部のニ点を結び、垂直二等分線を書く
②垂直二等分線上に適当な点を取る(E)
③とった点から外部のニ点を通るように円を書く✳︎最初の円に交わるような円を書く
④最初の円との交点を通るように直線を引くDF)
⑤外部のニ点の延長線と引いた直線の交点から
最初の円に接線を書く
⑥⑤の接点と外部の点どちらかで垂直二等分線を引く
⑦①と⑥の交点から外部のニ点を通るように円を書く
これを証明するには、方べきの定理が必要です
さいごに
いかがだったでしょうか
接線の作図の基礎から応用まで説明させていただきました。
たまにこういった記事を書くので是非見てください！
